（１）解法
実際の問題は、ホームページからダウンロードしたり、過去問を見てくださいね。では早速（１）の解説から。
四角形EACF は平行四辺形であることを証明しろ、という問題。
使える条件は、問題文に書かれている通り。
① △DAE ≡ △ABC
② AB // ED
③ △ABD はAB ＝ AD の二等辺三角形
④ F はE を通り辺AC に平行な直線と直線BD との交点
つまり、AC//EF
証明 開始
△ABD はAB ＝ AD の二等辺三角形なので
∠ABD＝∠ADB－①
AC//EFより平行線の同位角は等しいので
∠ADB＝∠EFD－②
AB // EDより平行線の同位角は等しいので
∠ABD＝∠EDF－③
①～③より、△EFDはED=EFの二等辺三角形。
よって、
EF=ED－④
さらに、△DAE ≡ △ABCより
DE=AC－⑤
④、⑤より
AC=EF－⑥
AC//EF、AC=EFより
一組の対辺が平行で長さが等しいので、四角形EACF は平行四辺形である。
（２）① 解法
辺BC の長さを求めろ、ということで、早速使える条件の確認から。
① AB ＝ 2 cm
② AC ＝ 6 cm
③ GA ＝ 2 cm
∠Gが９０°なので、最終的には赤線の△BCGを使ってBCを求めます。
そのためには、線分CGの長さを求める必要があります。そこで
△ACGを使って線分CGを求めます。
線分CGの長さを求める
\(\begin{eqnarray}
AG^2+CG^2&=&AC^2\\
2^2+CG^2&=&6^2\\
CG^2&=&32\\
CG&=&4\sqrt{~2~}
\end{eqnarray}
\)
線分BCの長さを求める
\(\begin{eqnarray}
GB^2+CG^2&=&BC^2\\
4^2+(4\sqrt{~2~})^2&=&BC^2\\
16+32&=&BC^2\\
BC&=&4\sqrt{~3~}
\end{eqnarray}
\)
（２）② 解法
線分EH の長さを求めろ、という問題。
最終的には、これに気づけばOK！では図を。
線分EDと線分CGの交点をIとしました。
GAは２cmであることがわかっていますので、線分EIの長さを求めて、相似比を求める。
最後は、その線分比を線分HA：線分HEに当てはめて線分EHの長さが出る、という公算。では早速やってみましょう。
まず、線分EIの長さを求めるために、次の図を使います。
△GACと△IDCは、AG//IDより、相似な三角形となります。
AD=AB=２cm、AC=６cmなので、DC=４cm
さらに、AG=２cmなので
\(
\begin{eqnarray}
CD：CA&=&DI：AG\\
４：６&=&DI：２\\
６DI&=&８\\ DI&=&\frac{~4~}{~3~}\\
\end{eqnarray}
\)
線分EIの長さを求める
\(\begin{eqnarray}
AC&=&ED\\
AC&=&6cm\\
EI&=&6-\frac{~4~}{~3~}\\
EI&=&\frac{~14~}{~3~}
\end{eqnarray}
\)
線分EHの長さを求める
△AGH∽△EIHなので
\(
\begin{eqnarray}
AG:EI&=&2:\frac{~14~}{~3~}\\
&=&6:14\\
&=&3:7\\
HA:HE&=&3:7
\end{eqnarray}
\)
これで、EHの長さが出ますね。
\(BC=AE=4\sqrt{~3~}\\
EH=4\sqrt{~3~}×\frac{~7~}{~10~}\\
EH=\frac{~14\sqrt{~3~}~}{~5~}
\)
（２）③ 解法
これは正直、どうやって攻めるねん！って感じでしたが、あることに気づいて速攻解決でした。ではその気づいた図をご覧ください。
この赤線三角形の面積を求められたら、あとは、△EFCと面積比で仕留められることに気づいたんですね。
で、この問題、何を求めるんでしたっけ？
ん？四角形EHCF の面積を求めろ、ってか？
いけるな。
△EHCの面積を求める
\(△AGH∽△EIHなので、∠EIH=９０°\\
また、EIの長さは、\frac{~14~}{~3~}と、既に出てます。\\
IHの長さがわかれば、\\
CH×EI×\frac{~1~}{~2~}で面積が求められるので、IHの長さを求めます。
\)
GH・CHの長さを求める
\(CG=4\sqrt{~2~}\\
AD:DC=GI:IC=1:2\\
GI=4\sqrt{~2~}×\frac{~1~}{~3~}\\
GI=\frac{~4\sqrt{~2~}~}{~3~}\\
さらに、GH:IH=3:7なので\\
GH=\frac{~4\sqrt{~2~}~}{~3~}×\frac{~3~}{~10~}\\
GH=\frac{~2\sqrt{~2~}~}{~5~}\\
さらにCHの長さは、\\
CH=4\sqrt{~2~}-\frac{~2\sqrt{~2~}~}{~5~}\\
CH=\frac{~18\sqrt{~2~}~}{~5~}
\)
いよいよ△EHCの面積へ
\(面積=\frac{~18\sqrt{~2~}~}{~5~}×\frac{~14~}{~3~}×\frac{~1~}{~2~}\\
面積=\frac{~42\sqrt{~2~}~}{~5~}
\)
△EFCの面積を求めて、最終工程へ
四角形EHCFはEH//FCの台形です。
だから、△EHCの面積と、△EFCの面積を考える時、どちらも高さが同じであることに気づくかどうかです。
これに気づいた人は、△EHCと△EFCの面積比はEH:FCであることがわかります。
\(
EH:EC=\frac{~14\sqrt{~3~}~}{~5~}:4\sqrt{~3~}\\
EH:EC=7:10\\
よって面積は\\
7：10=\frac{~42\sqrt{~2~}~}{~5~}:△EFC\\
△EFC=12\sqrt{~2~}\\
四角形EHCFの面積は\\
面積=\frac{~42\sqrt{~2~}~}{~5~}+12\sqrt{~2~}\\
面積=\frac{~102\sqrt{~2~}~}{~5~}
\)
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