【2020京都中期】数学　大問３　解説

(１)　解説
(２)　解説

(１)　解説

さほど難しい問題ではありません。
押さえるべきは、
①　１往復する時間　\(x\)秒
②　その時の振り子の長さ　\(y\)m

１往復するのに2秒かかる　⇒　\(x\)=2　ということですね。

式も既に書いてくれてますね。\(y=\frac{~1~}{~4~}x^2\) に \(x\)=2 を代入しましょう。

\(
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{~1~}{~4~}×2^2\\
&=&1
\end{eqnarray}
\)

更に、長さ９ｍの振り子が往復するのにかかる時間を求めます。
振り子の長さが９ｍ ⇒ \(y=9\)ということです。
\(y=\frac{~1~}{~4~}x^2\) に \(y\)=9 を代入しましょう。

\(
\begin{eqnarray}
9&=&\frac{~1~}{~4~}×x^2\\
\frac{~1~}{~4~}×x^2&=&9\\
x^2&=&36\\
x&=&±6\\
\end{eqnarray}
\)
\(
x>0よりx=6
\)

１つ目の答え　１ｍ　　２つ目の答え　６秒

(２)　解説

問題に書いてあることを整理してみましょう。
振り子A：振り子Bよりも \(\frac{~1~}{~4~}\) m 長い。
振り子B：１往復する時間が、振り子Aの \(\frac{~4~}{~5~}\) 倍
求めるものは振り子Aの長さ。
だから振り子Aの長さを\(a\) mにしましょう、ってしちゃうとドツボにはまっちゃいました(笑)。
それで、発想を変えて往復時間を \(a\) 秒とすると、答えにたどり着けました。

振り子Aの１往復する時間　\(a\) 秒とすると、
振り子Bの１往復する時間　\(\frac{~4~}{~5~}a\) 秒

これらをそれぞれ \(y=\frac{~1~}{~4~}x^2\) に代入します。

振り子Aの長さ \(y=\frac{~1~}{~4~}a^2\)…①
振り子Bの長さ \(y=\frac{~1~}{~4~}×(\frac{~4~}{~5~}a)^2=\frac{~4~}{~25~}a^2\)…②
①は②よりも \(\frac{~1~}{~4~}\) m 長いので、それを式に表します。

\(\frac{~1~}{~4~}a^2=\frac{~4~}{~25~}a^2+\frac{~1~}{~4~}\)

これを解いて \(a\) 秒を確定させましょう。
\(
\begin{eqnarray}
\frac{~1~}{~4~}a^2&=&\frac{~4~}{~25~}a^2+\frac{~1~}{~4~}\\
\frac{~1~}{~4~}a^2×100&=&\frac{~4~}{~25~}a^2×100+\frac{~1~}{~4~}×100\\
25a^2&=&16a+25\\
9a^2&=&25\\
a^2&=&\frac{~25~}{~9~}\\
a&=&±\frac{~5~}{~3~}
\end{eqnarray}
\)
\(
a>0より a=\frac{~5~}{~3~}\\
改めて a=\frac{~5~}{~3~} を y=\frac{~1~}{~4~}x^2 に代入して答えにたどり着きます。
\)