今回は、2021年３月１０日に実施された
愛知県公立高校入試 B日程
の数学の問題の解説を行います。
まず最初に扱うのは
大問３（２）の図形の問題です。
なんてことない問題なのですが、
私なりの解法を載せておきますので
学習の参考になさってください。
なお、愛知県は、
学習範囲を制限せずに、全ての範囲を
出題範囲としています。
大問３（２）解法
まず問題を書きます。
図で、四角形ＡＢＣＤは正方形であり、Ｅは辺ＤＣの中点、
Ｆは線分ＡＥの中点、Ｇは線分ＦＢの中点である。
ＡＢ＝８cmのとき、次の①、②の問いに答えなさい。
① 線分ＧＣの長さは何㎝か、求めなさい。
愛知県は、三平方の定理を使う問題も
出題しているので、とりあえず
三平方を使えば解けるかな？
と、思いながら考えておりました。
まず、△ＡＤＥと△ＢＦＡの相似を考えました。
∠ＡＥＤ＝∠ＢＡＦ ですが、
ＥＡ：ＡＢの線分比と
ＥＤ：ＡＦの線分比が違うので、
△ＡＤＥと△ＢＦＡは相似では無いのです。
ということは、△ＢＦＡは直角三角形では無い、
ということになります。
ここで何を考えたのかというと、
ＡＥ//ＧＣに何とかできないか？
ということです。
そうすると、下の図をご覧ください。
ＧＣを延長させて、ＡＢとの交点をＫとすると、
四角形ＡＫＣＥが平行四辺形になって、
△ＡＤＥ≡△ＣＢＫとなって、
さらに中点連結定理が使えるので
ＫＧ＝\(\frac{~1~}{~2~}\)ＡＦ
お！これは行けるぞ！
でもどうやってＡＥ//ＧＣを証明しようか・・・。
そう思いながら、ふっと正方形外に三角を書いてみた。
それが下の図です。
赤の三角形と青の三角形は合同になります。
これによって、先ほどの解法計画が一転しました。
ＨＦ＝ＢＦ＝（２○）
ＨＥ＝ＡＢ＝８㎝
これによって、
△ＨＥＦと△ＨＣＧが相似な図形になりました。
相似比は△ＨＥＦ：△ＨＣＧ＝２：３
ＥＦの長さは\(\frac{~1~}{~2~}\)ＡＥ
ＡＥの長さは、三平方の定理より\(4\sqrt{~5~}\)を出せるので、
ＥＦの長さは、\(2\sqrt{~5~}\)となります。
後は比でＣＧの長さを求めるだけ。
２：\(2\sqrt{~5~}\)＝３：ＧＣ
ＧＣ＝\(3\sqrt{~5~}\)
ということでした。
② 四角形ＦＧＣＥの面積は何㎠か、求めなさい。
この問題は、青三角形の面積がわかれば
すぐに面積が求められる仕組みになっています。
まあ、三平方を使えば長さがわかるし・・・
えっ？この三角形って直角三角形じゃ無かったよね。
ではどうやって長さを出すんだよ！
下の図をご覧ください。
ＦからＨＥに垂線ＦＲを引きます。
これが、△ＦＨＥの高さになりますよね。
次に、△ＥＲＦ∽△ＥＤＡになりますね。
これでＦＲの長さを求められますね。
中点連結定理より、
ＦＲ＝\(\frac{~1~}{~2~}\)ＡＤ＝４㎝
これで△ＨＥＦの面積は８×４÷２＝１６㎠
が出ました。
次は、△ＨＦＥと△ＨＧＣの相似比から面積を求めて
四角形ＦＧＣＥに持って行きましょう！
△ＨＦＥと△ＨＧＣの面積比は、相似比の２乗なので
４：９
これを利用して、
△ＨＦＥと四角形ＦＧＣＥの面積比は４：５になりますね。
４：５＝１６：四角形ＦＧＣＥ
これより四角形ＦＧＣＥの面積は２０㎠
となります。
まとめ
この問題で押さえるべきは、
枠外にも三角形を作ってみる
ということです。
数学の問題解法で
「多分ここは平行」
なんてことはないんです。
ちゃんと平行の根拠を示して問題を解く、
これこそが数学の根本です。
そのためには公式や定理を頭に入れる必要があります。
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