【2020京都前期入試問題】数学　大問５　解説

問題
(１)　線分PQの長さを求めなさい。
(２)　四角形CQPRの面積を求めなさい。また、直線CQと直線PRの距離を求めなさい。
1. この四角形は、正方形じゃありませんから！ざんね～～～ん
2. ひし形確定
  1. 線分CQと線分PRの距離を求める。
(３)　線分AFと線分PRとの交点をSとし、線分SFの中点をMとする。このとき、三角錐M-CQPの体積を求めなさい。

問題

　右の図のように、直方体ABCD-EFGHがあり、AB=AD=６㎝、AE＝１２㎝である。２点P,Qをそれぞれ辺BF,DH上にBP=DQ=3㎝となるようにとる。また、辺AE上に点RをCQ//PRとなるようにとる。

(１)　線分PQの長さを求めなさい。

押さえるべきポイントは
・BP=DQ=3㎝
PもQも３㎝上昇すると、BとDに重なるので、結局この問題は、線分BDの長さを求める問題だったということですね。
四角形ABCDは１辺が６㎝の正方形ですので、△ABDで、AB:AD:BD=$１：１：\sqrt{~2~}$より
BD＝$6\sqrt{~2~}$＝PQ

(２)　四角形CQPRの面積を求めなさい。また、直線CQと直線PRの距離を求めなさい。

ということで、線分QRと線分CPを赤線でつないだ図になります。
この問題の難解ポイント・・・、それは・・・、

この四角形は、正方形じゃありませんから！ざんね～～～ん

古っ！
えっ？なに？って思われた方、忘れてください。

では気を取り直して、この四角形はひし形です。
なぜひし形なのか？
１：各辺の長さは全て$3\sqrt{~5~}$
えっ？正方形やん。
ちゃいまっせ！
正方形になるためにはもう一個条件が必要でっせ！
「角が９０度」っちゅう条件ですがな。
えっ？でも角は全部９０度やん！
ほなら９０度とちゃう証明しまっせ！
△CPQに注目しましょか。
CQ＝CP＝$3\sqrt{~5~}$
PQ＝$6\sqrt{~2~}$
ちゅうことで、この三角形は二等辺三角形になりますね。
えっ？ほんなら直角二等辺三角形やんか！
まぁまぁ、焦りなさんな。
直角三角形になるんやったら「三平方の定理」が成り立つよね。
左辺=$(3\sqrt{~5~})^2+(3\sqrt{~5~})^2=45+45=90$
右辺=$(6\sqrt{~2~})^2=72$
左辺≠右辺なので、直角三角形ではなかったですね。
つーことで、

ひし形確定

ほんで、どうやって面積求めんのよ！って方のために前へ進めます。

その直角三角形でないことを証明した三角形CPQに注目します。
Sは、頂点CからPQに引いた垂線とPQとの交点になります。
CQ=$3\sqrt{~5~}$
QS=$6\sqrt{~2~}×\frac{~1~}{~2}=3\sqrt{~2~}$
三平方の定理より
$
\begin{eqnarray}
CS&=&\sqrt{~CQ^2-QS^2~}\\
CS&=&\sqrt{~(3\sqrt{~5~})^2-(3\sqrt{~2~})^2~}\\
CS&=&\sqrt{~45-18~}\\
CS&=&\sqrt{~27~}\\
CS&=&3\sqrt{~3~}
\end{eqnarray}
$

つーことで、高さが求まったので、△CPQの面積を求めます。

$
\begin{eqnarray}
面積&=&6\sqrt{~2~}×3\sqrt{~3~}×\frac{~1~}{~2~}\\
面積&=&9\sqrt{~6~}
\end{eqnarray}
$

△RPQ≡△CPQなので、面積も同じになります。
よって、
$
9\sqrt{~6~}×2=18\sqrt{~6~}cm^2
$

線分CQと線分PRの距離を求める。

四角形の面積が求められたことによって、線分の距離はひし形の高さになりますね。
底辺×高さ$=$面積
$
\begin{eqnarray}
3\sqrt{~5~}×高さ&=&18\sqrt{~6~}\\
高さ&=&\frac{~18\sqrt{~6~}~}{~3\sqrt{~5~}~}\\
高さ&=&\frac{~6\sqrt{~30~}~}{~5~}
\end{eqnarray}
$

つーことで、２直線の距離は$\frac{~6\sqrt{~30~}~}{~5~}$ということになりました。

答え　面積　$18\sqrt{~6~}cm^2$　　線分の距離　$\frac{~6\sqrt{~30~}~}{~5~}cm$

(３)　線分AFと線分PRとの交点をSとし、線分SFの中点をMとする。このとき、三角錐M-CQPの体積を求めなさい。

問題の通りに作図しますと、青線の通りの立体が浮かび上がりました。
正直、どこから攻めようか・・・悩みましたね。
悩んで悩んで、一つ前の問題に戻って、「なんでひし形の面積なんか求めさせたんや？」というところから考え直しました。
ひょっとして、ひし形の四角すいから体積を求めるのか？
そう思って、新たな線を引いてみました。
それが下の図です。